Repaso MCG
Santiago Bohorquez Correa
Universidad EAFIT
Escuela de Economía y Finanzas
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El supuesto de observaciones i.i.d. puede ser apropiado cuando tenemos individuos que fueron seleccionados aleatoriamente de una población.
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Sin embargo, en varios casos en economía tenemos muestreos que difieren de este caso, e.g. observamos varios miembros de la misma familia, ó usamos series de tiempo.
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Cuando esto sucede los supuestos vistos para el estimador MCO no se cumplen y este estimador deja de ser el MELI.
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Para estos casos se usa el estimador de mínimos cuadrados generalizados el cual tiene supuestos menos restrictivos.
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Estos son:
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\(E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \mathbf{0}_n\).
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\(E(\mathbf{U}\mathbf{U}'|\mathbf{X}) = \Omega(\mathbf{X})\), donde \(\Omega(\mathbf{X})\) es una matriz definida positiva de tamaño \(n \times n\) que puede depender de \(\mathbf{X}\).
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\(\mathbf{X}\) y \(u_i\) satisfacen condiciones sobre los momentos, estas condiciones dependen de la forma funcional de \(\Omega(\mathbf{X})\).
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\(\mathbf{X}\) tiene rango completo.
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Ahora, suponiendo que conocemos \(\Omega(\mathbf{X})\) y que tenemos una matriz \(\mathbf{F}\) tal que \(\mathbf{F}'\mathbf{F} =\Omega(\mathbf{X})^{-1}\).
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Estimamos el siguiento modelo de regresión, \[\begin{equation}
\tilde{\mathbf{Y}} = \tilde{\mathbf{X}} \boldsymbol{\beta} + \tilde{\mathbf{U}}
\end{equation}\] donde, \(\tilde{\mathbf{Y}} = \mathbf{F}\mathbf{Y}\), \(\tilde{\mathbf{X}} = \mathbf{F}\mathbf{X}\), y \(\tilde{\mathbf{U}} = \mathbf{F}\mathbf{U}\).
Con esto podemos calcular el estimador como, \[\begin{equation}
\tilde{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\mathbf{F}'\mathbf{F}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\mathbf{F}'\mathbf{F}\mathbf{Y})
\end{equation}\] tal que, \[\begin{equation}
\tilde{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\Omega^{-1}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\Omega^{-1}\mathbf{Y})
\end{equation}\]
Sin embargo, muchas veces si bien la forma funcional de \(\Omega\) es conocida los parámetros de esta no lo son.
Cuando \(\Omega\) es desconocido necesitamos un estimador \(\hat{\Omega}\), tal que \[\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\beta}}^{MCG} = (\mathbf{X}'\hat{\Omega}^{-1}\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}'\hat{\Omega}^{-1}\mathbf{Y})
\end{equation}\] Este estimador es conocido como el estimador de MCG Factibles.
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Es importante examinar con un poco más de detalle el primer supuesto del estimador MCG, \(E(\mathbf{U}|\mathbf{X}) = \mathbf{0}_n\).
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Este supuesto requiere que los errores de la observación \(i\) no esta correlacionado con ningún regresor de otras observaciones.
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Este supuesto es dudosa en aplicaciones de serie de tiempo, ya que esto requiere que no exista correlación entre diferentes periodos de tiempo.
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En estos casos el MCO es consistente pero el MCG no lo es.
library(readxl)
library(nlme)
USMacro <- read_excel(“us_macro_quarterly.xlsx”)
GLSReg <- gls(GDPC96 ~ GS10, data = USMacro, corr =
corAR1())
summary(GLSReg)
## New names:
## * `` -> ...1
## Generalized least squares fit by REML
## Model: GDPC96 ~ GS10
## Data: USMacro
## AIC BIC logLik
## 2679.966 2693.648 -1335.983
##
## Correlation Structure: AR(1)
## Formula: ~1
## Parameter estimate(s):
## Phi
## 0.9999998
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) 9322.662 132020.08 0.0706155 0.9438
## GS10 27.962 12.37 2.2596303 0.0248
##
## Correlation:
## (Intr)
## GS10 0
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -0.05027706 -0.03518528 -0.01537566 0.02032666 0.04973502
##
## Residual standard error: 132021.8
## Degrees of freedom: 228 total; 226 residual